LA DÉMONSTRATION S/ES/L

LA DÉMONSTRATION

Le hasard est-il une explication ?

Peut-on dire que tout ce qui est logique est vrai ?

Peut-on tout définir et tout démontrer ?

Persuader quelqu'un est-ce l'empêcher de penser ?

 

 

 


1998 - Série L - METROPOLE - SESSION NORMALE

 

On ne doit pas, sans doute, exagérer l’influence de l’intelligence sur la conduite des hommes. Mais, certainement, la force de la démonstration a une importance très supérieure à celle qu’on lui a supposée jusqu’ici. L’histoire de l’esprit humain prouve que cette force a souvent déterminé, à elle seule, des changements dans lesquels elle avait à lutter contre les plus grandes forces humaines réunies. Pour n’en citer que l’exemple le plus remarquable, c’est la seule puissance des démonstrations positives qui a fait adopter la théorie du mouvement de la terre, qui avait à vaincre non seulement la résistance du pouvoir théologique, encore si vigoureux à cette époque, mais surtout l’orgueil de l’espèce humaine tout entière, appuyé sur les motifs les plus vraisemblables qu’une idée fausse ait jamais eus en sa faveur. Des expériences aussi décisives devraient nous éclairer sur la force prépondérante qui résulte des démonstrations véritables. C’est principalement parce qu’il n’y en a jamais eu encore dans la politique, que les hommes d’État se sont laissé entraîner dans de si grandes aberrations pratiques. Que les démonstrations paraissent, les aberrations cesseront bientôt.

 

COMTE

        

 

 

 


2007 -     Série S - ANTILLES - SESSION NORMALE

 

L’universel, ce qui s’applique à tous les cas, est impossible à percevoir, car ce n’est ni une chose déterminée, ni un moment déterminé, sinon ce ne serait pas un universel, puisque nous appelons universel ce qui est toujours et partout. Puisque donc les démonstrations sont universelles, et que les notions universelles ne peuvent être perçues, il est clair qu’il n’y a pas de science par la sensation. Mais il est évident encore que, même s’il était possible de percevoir que le triangle a ses angles égaux à deux droits, nous en chercherions encore une démonstration, et que nous n’en aurions pas (comme certains le prétendent) une connaissance scientifique : car la sensation porte nécessairement sur l’individuel, tandis que la science consiste la connaissance universelle. Aussi, si nous étions sur la Lune, et que nous voyions la Terre s’interposer sur le trajet de la lumière solaire, nous ne saurions pas la cause de l’éclipse : nous percevrions qu’en ce moment il y a éclipse, mais nullement le pourquoi, puisque la sensation, avons-nous dit, ne porte pas sur l’universel, ce qui ne veut pas dire que par l’observation répétée de cet événement, nous ne puissions, en poursuivant l’universel, arriver à une démonstration, car c’est d’une pluralité de cas particuliers que se dégage l’universel.

 

ARISTOTE, Organon, Seconds analytiques

 

 

 

 

 


2007 - Série S - POLYNESIE - SESSION REMPL.

 

En règle générale, ce n’est pas l’artiste exécutant qui peut donner une juste information sur les principes de son art. Il ne crée pas d’après des principes et n’évalue pas d’après des principes. En créant, il obéit à l’impulsion spontanée de ses facultés harmonieusement cultivées et, en jugeant, à la finesse de son intuition et de son sens artistiques. Or, il n’en est pas seulement ainsi dans le cas des beaux-arts, auxquels on a pu penser tout d’abord, mais pour tous les arts en général, en prenant ce mot dans son sens le plus large. Il en est, par conséquent, aussi de même pour les activités de la création scientifique et l’évaluation théorique de ses résultats, des fondations scientifiques de faits, de lois, de théories. Le mathématicien, le physicien, l’astronome euxmêmes n’ont pas besoin, pour mener à bien leurs travaux scientifiques les plus importants, d’accéder à l’évidence intellectuelle des ultimes fondements de leur activité et, bien que les résultats obtenus possèdent, pour eux et pour d’autres, la force d’une conviction rationnelle, ils ne peuvent cependant pas élever la prétention d’avoir prouvé, pour tous les cas, les ultimes prémisses (1) de leurs conclusions, ni recherché les principes sur lesquels repose la validité de leurs méthodes. Or, c’est à cela que tient l’état d’imperfection de toutes les sciences.

 

HUSSERL, Recherches logiques

 

(1) « prémisses » : premières propositions d’un raisonnement dont on tire une conclusion.

 

 

 

 

 


2000 - Série L - NOUVELLE-CALEDONIE - SESSION REMPL.

 

Les bêtes sont purement empiriques et ne font que se régler sur les exemples, car elles n’arrivent jamais à former des propositions nécessaires, autant qu’on en peut juger ; au lieu que les hommes sont capables des sciences démonstratives. C’est encore pour cela que la faculté que les bêtes ont de faire des consécutions est quelque chose d’inférieur à la raison qui est dans les hommes. Les consécutions des bêtes sont purement comme celles des simples empiriques, qui prétendent que ce qui est arrivé quelquefois arrivera encore dans un cas où ce qui les frappe est pareil, sans être capables de juger si les mêmes raisons subsistent. C’est par là qu’il est si aisé aux hommes d’attraper les bêtes, et qu’il est si facile aux simples empiriques de faire des fautes. C’est de quoi les personnes devenues habiles par l’âge et par l’expérience ne sont pas exemptes lorsqu’elles se fient trop à leur expérience passée, comme il est arrivé à plusieurs dans les affaires civiles et militaires, parce qu’on ne considère point assez que le monde change et que les hommes deviennent plus habiles en trouvant mille adresses nouvelles, au lieu que les cerfs ou les lièvres de ce temps ne deviennent point plus rusés que ceux du temps passé. Les consécutions des bêtes ne sont qu’une ombre du raisonnement, c’est-à-dire ce ne sont que connexions d’imagination, et que passages d’une image à une autre.

 

LEIBNIZ

 

 

 

 

 


2004 - Série L - METROPOLE - SESSION NORMALE

 

L’origine de toutes les erreurs est, en un certain sens, la même que celle des erreurs de calcul, qui arrivent aux arithméticiens. En effet, il arrive souvent qu’à défaut d’attention ou de mémoire, nous faisons ce qu’il ne faut pas faire ou que nous omettons ce qu’il faut faire, ou bien que nous croyons avoir fait ce que nous n’avons pas fait, ou que nous avons fait ce que nous croyons n’avoir pas fait. Ainsi, il arrive que, dans le calcul (auquel correspond le raisonnement dans l’esprit), on oublie de poser certains signes nécessaires ou qu’on en mette qu’il ne faut pas ; qu’on néglige un des éléments du calcul en les rassemblant, ou qu’on opère contre la règle. Lorsque notre esprit est fatigué ou distrait, il ne fait pas suffisamment attention aux opérations qu’il est en train de faire, ou bien, par une erreur de mémoire, il accepte comme déjà prouvé ce qui s’est seulement profondément enraciné en nous par l’effet de répétitions fréquentes, ou d’un examen prolongé, ou d’un désir ardent. Le remède à nos erreurs est également le même que le remède aux erreurs de calcul : faire attention à la matière et à la forme (1), avancer lentement, répéter et varier l’opération, recourir à des vérifications et à des preuves, découper les raisonnements étendus, pour permettre à l’esprit de reprendre haleine, et vérifier chaque partie par des preuves particulières. Et puisque dans l’action on est quelquefois pressé, il est important de s’habituer à garder le sang-froid et la présence d’esprit, à l’exemple de ceux qui, même au milieu du bruit et sans calculer par écrit, savent exécuter des opérations sur des nombres très élevés. Ainsi l’esprit s’habitue à ne pas se laisser facilement distraire par les sensations externes ou par ses imaginations et ses affections propres, mais à rester maître de ce qu’il est en train de faire, à conserver sa faculté critique ou, comme on dit communément, son pouvoir de faire retour sur lui-même, de manière à pouvoir, tel un moniteur (2) étranger, se dire sans cesse à lui-même : vois ce que tu fais, pourquoi le fais-tu actuellement ?

 

LEIBNIZ, Remarques sur Descartes

 

  1. « la matière et la forme » : le contenu et l’enchaînement du raisonnement.
  2. « moniteur » : quelqu’un qui avertit, conseille.

 

 

 

 

 


1996 - Série L - JAPON - SESSION NORMALE

 

Concevoir qu’un fait est la raison d’un autre fait, qu’une vérité procède d’une autre vérité, ce n’est autre chose que saisir des liens de dépendance et de subordination, c’est-à-dire saisir un ordre entre des objets divers, et cette dépendance ne nous frappe, n’est aperçue par nous, que parce que nous avons la faculté de comparer et de préférer un arrangement à une autre, comme plus simple, plus régulier et par conséquent plus parfait ; en d’autres termes, parce que nous avons l’idée de ce qui constitue la perfection de l’ordre, et parce qu’il est de l’essence de notre nature raisonnable de croire que la nature a mis de l’ordre dans les choses, et de nous croire d’autant plus près de la véritable explication des choses, que l’ordre dans lequel nous sommes parvenus à les ranger nous semble mieux satisfaire aux conditions de simplicité, d’unité et d’harmonie qui, selon notre raison, constituent la perfection de l’ordre.

 

COURNOT

 

 

 

 

 


2009 - Série L - AMERIQUE DU SUD - SESSION NORMALE

 

Les hommes peuvent avoir des démonstrations rigoureuses sur le papier, et en ont sans doute une infinité. Mais sans se souvenir d’avoir usé d’une parfaite rigueur, on ne saurait avoir cette certitude dans l’esprit. Et cette rigueur consiste dans un règlement dont l’observation sur chaque partie soit une assurance à l’égard du tout ; comme dans l’examen de la chaîne par anneaux, où, visitant chacun pour voir s’il est ferme, et prenant des mesures avec la main pour n’en sauter aucun, on est assuré de la bonté de la chaîne. Et par ce moyen on a toute la certitude dont les choses humaines sont capables. Mais je ne demeure point d’accord qu’en mathématiques les démonstrations particulières sur la figure qu’on trace fournissent cette certitude générale. (…) Car il faut savoir que ce ne sont pas les figures qui donnent la preuve chez les géomètres. (…) La force de la démonstration est indépendante de la figure tracée, qui n’est que pour faciliter l’intelligence de ce qu’on veut dire et fixer l’attention ; ce sont les propositions universelles, c’est-à-dire les définitions, les axiomes, et les théorèmes déjà démontrés qui font le raisonnement et le soutiendraient quand la figure n’y serait pas.

 

LEIBNIZ, +ouveaux Essais sur l’entendement humain

 

 

 

 

 


1996 - Série ES - JAPON - SESSION NORMALE

 

La méthode des mathématiciens dans la découverte et l’exposé des sciences - c’est-à-dire la démonstration des conclusions par définitions, postulats, et axiomes - est la meilleure et la plus sûre pour chercher la vérité et l’enseigner : voilà l’opinion unanime de tous ceux qui veulent s’élever au-dessus du vulgaire. À juste titre d’ailleurs. Car on ne peut tirer une connaissance rigoureuse et ferme de ce qu’on ne connaît pas encore que de choses déjà connues avec certitude. Il est donc nécessaire de s’en servir comme d’un fondement stable sur lequel on puisse établir par la suite tout l’édifice de la connaissance humaine, sans risquer qu’il s’affaisse ou s’écroule au moindre choc. Or, que ce soit le cas des notions qui, sous le nom de définitions, postulats et axiomes, sont fréquemment utilisées par ceux qui cultivent les mathématiques, on n’en pourra douter si on a tant soit peu salué du seuil cette noble discipline. Car les définitions ne sont guère que des explications très larges de termes et noms qui désignent les objets dont il sera question. Et les postulats et les axiomes (…) sont des propositions si claires, si évidentes, que tous ceux qui ont simplement compris correctement les mots ne peuvent que donner leur assentiment.

 

SPINOZA

 

 

 

 

 


2001 - Série S - ANTILLES - SESSION NORMALE

 

  • Quand on a cru, sans connaître l’art de raisonner, qu’un raisonnement est vrai, il peut se faire que peu après on le trouve faux, alors qu’il l’est parfois et parfois ne l’est pas, et l’expérience peut se renouveler sur un autre et un autre encore. Il arrive notamment, tu le sais, que ceux qui ont passé leur temps à controverser finissent par s’imaginer qu’ils sont devenus très sages et que, seuls, ils ont découvert qu’il n’y a rien de sain ni de sûr ni dans aucune chose ni dans aucun raisonnement, mais que tout est dans un flux et un reflux continuels, absolument comme dans l’Euripe (1) et que rien ne demeure un moment dans le même état.
  • C’est parfaitement vrai, dis-je.
  • Alors, Phédon, reprit-il, s’il est vrai qu’il y ait des raisonnements vrais, solides et susceptibles d’être compris, ne serait-ce pas une triste chose de voir un homme qui, pour avoir entendu des raisonnements qui, tout en restant les mêmes, paraissent tantôt vrais, tantôt faux, au lieu de s’accuser lui-même et son incapacité, en viendrait par dépit à rejeter la faute sur les raisonnements, au lieu de s’en prendre à lui-même, et dès lors continuerait toute sa vie à haïr et ravaler les raisonnements et serait ainsi privé de la vérité et de la connaissance de la réalité ? - Oui, par Zeus, dis-je, ce serait une triste chose.

 

PLATON

 

(1) L’Euripe : détroit qui sépare l’Eubée de la Béotie, où se produisent un flux et un reflux perpétuels.

 

 

 

 

 


2006 - Série ES - ETRANGER GROUPE 1 - SESSION NORMALE

 

Cet art que j’appelle l’art de persuader, et qui n’est proprement que la conduite des preuves méthodiques parfaites consiste en trois parties essentielles : à définir les termes dont on doit se servir par des définitions claires ; à proposer des principes ou axiomes évidents pour prouver la chose dont il s’agit ; et à substituer toujours mentalement dans la démonstration les définitions à la place des définis.

Et la raison de cette méthode est évidente, puisqu’il serait inutile de proposer ce qu’on peut prouver et d’en entreprendre la démonstration, si on n’avait auparavant défini clairement tous les termes qui ne sont pas intelligibles ; et qu’il faut de même que la démonstration soit précédée de la demande des principes évidents qui y sont nécessaires, car si on n’assure le fondement on ne peut assurer l’édifice ; et qu’il faut enfin en démontrant substituer mentalement la définition à la place des définis, puisque autrement on pourrait abuser des divers sens qui se rencontrent dans les termes. Il est facile de voir qu’en observant cette méthode on est sûr de convaincre, puisque, les termes étant tous entendus et parfaitement exempts d’équivoques par les définitions, et les principes étant accordés, si dans la démonstration on substitue toujours mentalement les définitions à la place des définis, la force invincible des conséquences ne peut manquer d’avoir tout son effet.

Aussi jamais une démonstration dans laquelle ces circonstances sont gardées n’a pu recevoir le moindre doute ; et jamais celles où elles manquent ne peuvent avoir d’effet de force.

 

PASCAL, De l’Art de persuader